某个知乎题

来源：https://www.zhihu.com/question/1922987284774491644。

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求证：

$$\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$

简单变形：

$$\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k!k}\times \frac{1}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$

施形式幂级数。设

$$F_1(x)F_2(x)=G(x)$$

由定义得：

$$G'(x)-\frac{e^x-1}{x}=G(x)$$

$$F_2(x)=e^x$$

$$F_1'(x)=\frac{e^{-x}-1}{-x}$$

故：

$$(F_1F_2)'(x)=(F_1F_2')(x)+(F_1'F_2)(x)=F_1(x)F_2(x)+e^x\times\frac{e^{-x}-1}{-x}$$

做到这里，显然 $F_1F_2$ 和 $G$ 是同一个微分方程的解，接下来只要证明此方程解唯一即可。本人知识浅薄，不会比较严谨的方法，只知道从形式幂级数的角度来说，$G$ 的各项系数可以通过此方程逐项递推，唯一确定，故解的确唯一。